空间三角形与射线相交并求交点的重心坐标系表示
在光线追踪中一个重要的步骤就是从屏幕上投射出一道光线，并求解其与3D物体的焦点并执行反射/折射等过程然后继续反射或折射，关键问题是如何求出这道光线与3D物体(空间三角形)的焦点？因为只有求出焦点之后才方便求出其贴图坐标以及该点的法线，很好的一个方法就是用重心坐标系来表示该焦点坐标。 首先介绍一下重心坐标系(BaryCentric Coordinates)。
在三角形ΔABC中，P点可以用ABC三点来表示，即 P=sA+qB+rC 且s+q+r=1。实际上在由ABC三点所定义的平面上的任意点P都可以用ABC三点来表示，当0<s<1 0<q<1 0<r<1时点P落在三角形内部，即射线与三角形相交。 求解点P。
先前看过一个解法，来自MIT Open Course的Ray Tracing(Fall 2003)课程，大致方法如下： 因为 s+q+r=1，故有s=1-q-r，由此得P(q,r) = (1-q-r)A+qB+rC,化简得P(q,r) = A-(B-A)q+(C-A)r，现假设眼睛(射线起点)位置坐标围R，观察(射线)方向为D，则此射线上任意一点可以表示为P(t)=R+tD，假如三角形上的一点与射线相交，则有P(t)=P(q,r)，即R+tD=A-(B-Ａ)q+(Ｃ-Ａ)r，将三个坐标分量带进去可得线性方程组: Rx+tDx=Ａx-(Ｂx-Ａx)q+(Ｃx-Ａx)r Ry+tDy=Ａy-(Ｂy-Ａy)q+(Ｃy-Ａy)r Rz+tDz=Ａz-(Ｂz-Ａz)q+(Ｃz-Ａz)r 写成矩阵形式即
由克莱姆法则即可求解三个变量
当q+r<1 且q>0r>0时交点即在三角形内部。 (以下解法参考自《实时计算机图形学(第二版)》P324) 根据线性代数有 det(A,B,C)=|A B C|=-(AⅹC)·B=-(CⅹB)·A 故 |A|=-[(A-B)ⅹ(C-A)]·D 当|A|>10-5 And |A|<105时返回 q=-[(A-R)ⅹ(C-A)]·D/A 当q>1.0 Or q<0.0时返回 r=-[(A-B)ⅹ(A-R)]·D/A 当r>1.0 Or r<0.0时返回 t=-[(A-B)ⅹ(C-A)]·(A-R)/A 但是在实践中我发现一个问题，就是由s=1-q-r求出的s存在精度不高的问题，由克莱姆求解过程中涉及太多的乘法导致数据精度损失过大的问题，最终实际上s+q+r≠1，大约是s+q+r=1.000005，所以我们应该由三个方程变量分别为s,q,r构成的方程组来求出精度会比较高，并且尽量减少乘法的次数以保证精度。 用面积来求s,q,r: 由上面的知识我们知道s=Ts/T,q=Tq/T,r=Tr/T，而由给定射线及三角形三顶点可以直接求出焦点坐标。 1.射线上任意一点P(t) = R+tD； 2.假如P(t)在三角形平面上，则应满足平面方程(PX-X0)A+(PY-Y0)B+(PZ-Z0)C=0； 3.其中该平面的法线N=(NA,NB,NC)，(X0,Y0,Z0)是平面上任意点； 4.将P(t)=R+tD带进方程即可得 (NARX+NBRY+NCRZ)+(NAtDX+NBtDY+NCtDZ)-(NACX+NBCY+NCCZ)=0； 5.或者表示为N·R+N·tD-N·C=0； [...]
